Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:physics:question15

Вопрос №15. Затухающие колебания. Уравнение затухающих механических колебаний. Логарифмический декремент затуханий. Взято с википедии.


Неполный

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний Aявляется убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды.

Затухающие колебания пружинного маятника

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (коофициентом трения ?).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:
,
где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости
Fc = − cv, Fy = − kx, то есть ma + cv + kx = 0.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид(x с точкой - это производная x’):
Сделав замену x = eλt, получаем характеристическое уравнение:
,
корни которого вычисляются по следующей формуле:



В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта:

1. Апериодичность

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

2. Граница апериодичности

Если , два действительных корня совпадают (), и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание

3. Слабое затухание

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является
, где — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:



Логарифмический декремент затуханий

(хз, по смыслу вроде как количественная характеристика быстроты затухания колебаний):
wiki.ivtb.net_physics_15.files_image018.jpg

examination/physics/question15.txt · Последние изменения: 2014/01/15 08:21 (внешнее изменение)