Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:mo:question26

Решение матричной игры можно свести к решению стандартной задачи линейного программирования.

Рассмотрим игру с m х n-матрицей выигрышей Н.

Теорема. Тройка (X*, Y*, v) является решением игры Г = <Sm, Sn, Н> тогда и только тогда, когда (X*, Y*, k*v + а) является решением игры Г' = <Sm, Sn, kH + a>, где а — любое вещественное число, k>0.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из того, что неравенства

и

В силу теоремы всегда можно добиться того, чтобы было v>0 (в противном случае следует прибавить ко всем элементам матрицы выигрышей достаточно большую константу, что, по теореме, не меняет множества оптимальных стратегий игроков). Поэтому, не нарушая общности, будем считать, что все элементы матрицы Н положительны.

Любую матричную игру можно свести к задаче линейного программирования, вернее, к паре двойственных друг другу задач линейного программирования. Благодаря этому становится возможным применение симплекс-метода для решения матричных игр.

Пусть — произвольная стратегия игрока I в игре Н. Положим . Из положительности элементов H следует, что v(X)>0. Мы имеем

(17.34)

и равенство v(X)=v(H) является необходимым и достаточным условием оптимальности стратегии X. Следовательно, оптимальность стратегии X равносильна тому, что

. (17.35)

Так как v(X) > 0, обе части неравенства (17.34) разделим на v(X) и введем новую переменную . В результате получим

. (17.36)

То, что X — стратегия, означает

, (17.37)

где .

Из соотношений (17.35) и (17.37) следует, что стратегия X будет оптимальной тогда и только тогда, когда

.

В результате задачу определения оптимальной стратегии игрока I мы можем сформулировать так:

при условиях

Рассуждая аналогично, задачу нахождения оптимальной стратегии игрока II можно записать в следующем виде:

при условиях

Решив эти задачи, найдем х*, у* и v из соотношений

examination/mo/question26.txt · Последние изменения: 2014/01/15 12:19 (внешнее изменение)