Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:mo:question25

Во многих практических задачах возникают ситуации, когда требуется принять решение, не имея достаточной информации. Неизвестными могут быть как условия осуществления какой-либо операции, так и сознательные действия лиц, от которых зависит успех этой операции.

Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух сторон и результат любой операции, осуществляемой одной из сторон, зависит от действий другой стороны, называются конфликтными.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, а математическая теория, помогающая принимать рациональные решения в конфликтной ситуации, − теорией игр.

Конфликтующие стороны называются игроками, а действия, которые могут выполнять игроки, − стратегиями.

От реальной ситуации игра отличается тем, что в игре противники действуют по строго определенным правилам.

Матричной игрой называется игра, осуществляемая по следующим правилам:

1. В игре участвуют два игрока;

2. Каждый из игроков обладает конечным набором стратегий;

3. Игра заключается в том, что каждый из игроков, не имея информации о действиях противника, делает один ход(выбирает одну из своих стратегий). Результатом выбора игроками стратегий является выигрыш и проигрыш в игре.

4. И выигрыш, и проигрыш выражаются числами.

Матричная игра называется игрой с нулевой суммой, если в этой игре выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого игрока.

Каждая матричная игра с нулевой суммой имеет платежную матрицу.

Для того чтобы построить эту матрицу, обозначим одного из игроков символом A, а другого − символом B, и предположим, что A1, A2,…, An − стратегии, которые может применять игрок A, B1, B2,…, Bn − стратегии, которые может применять игрок B.

Матричная игра, в которой у игрока A имеется m стратегий, а у игрока B − n стратегий, называется игрой типа m × n.

Рассмотрим матрицу, у которой элементы cij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) равны выигрышам игрока A (и проигрышам игрока B) при применении игроками стратегий Ai и Bj соответственно.

Матрица C называется платежной матрицей игры.

Если игрок A выберет стратегию i A , то все его возможные выигрыши будут элементами i - й строки матрицы C. В наихудшем для игрока A случае, когда игрок B применяет стратегию, соответствующую минимальному элементу этой строки, выигрыш игрока A будет равен числу min cij, 1≤j≤n.

Число a = max min cij, 1≤i≤m, 1≤j≤n называется нижней ценой игры, а стратегия игрока A, соответствующая наибольшему из чисел min cij, 1≤j≤n, называется максиминной.

Таким образом, если игрок A будет придерживаться максиминной стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший, чем α , при любом поведении игрока В. Проанализируем теперь платежную матрицу с точки зрения игрока B,заинтересованного в том, чтобы игрок A выиграл, как можно меньше. Если игрок B выберет стратегию j B , то все возможные выигрыши игрока A будут элементами j - го столбца платежной матрицы С. В наихудшем для игрока B случае, когда игрок A применяет стратегию, соответствующуюмаксимальному элементу этого столбца, выигрыш игрока B будет равен числу max cij, 1≤i≤m.

Число b = min max cij, 1≤i≤m, 1≤j≤n называется верхней ценой игры, а стратегия игрока B, соответствующая наименьшему из чисел max cij, 1≤i≤m, называется минимаксной. Таким образом, если игрок B применяет минимаксную стратегию, то игрок A не может выиграть больше, чем b. Принцип осторожности, заставляющий игроков придерживаться максиминной и минимаксной стратегий соответственно, называют «Принципом минимакса», а минимаксную стратегию и максиминную стратегию называют общим термином «Минимаксные стратегии».

examination/mo/question25.txt · Последние изменения: 2014/01/15 08:19 (внешнее изменение)