Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:mo:question23

Схема гибели и размножения

Марковский процесс с дискретными состояниями www.stat-mat.com_images_10_img2665.jpg называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в цепочку, в которой каждое из промежуточных состояний www.stat-mat.com_images_10_img2666.jpg может переходить только в соседние состояния, а крайние состояния www.stat-mat.com_images_10_img2667.jpg переходят лишь в состояния www.stat-mat.com_images_10_img2668.jpg и www.stat-mat.com_images_10_img2669.jpg соответственно. Граф состояний такой системы приведен на рис.4.

Название схемы взято из биологических задач, где состояние популяции www.stat-mat.com_images_10_img2670.jpg означает наличие в ней k особей.

На рис.4 переход вправо соответствует увеличению популяции, влево – ее уменьшению. Таким образом, можно определить www.stat-mat.com_images_10_img2672.jpg как интенсивности размножения, а www.stat-mat.com_images_10_img2673.jpg – как интенсивности гибели. Используется следующее соглашение: буквам www.stat-mat.com_images_10_img2674.jpg и www.stat-mat.com_images_10_img2675.jpg приписывается индекс того состояния, из которого выходит стрелка.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем называется такой случайный процесс, исследуемый параметр которого может принимать только целые неотрицательные значения. Изменения рассматриваемого параметра могут происходить в любой момент времени, т.е. в любой момент времени он может либо увеличиться, либо уменьшиться на единицу.

Процессом чистого размножения называется такой процесс, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю; аналогично процессом чистой «гибели» называется процесс, у которого равны нулю интенсивности всех потоков размножения.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме, определяются по следующим формулам:

www.stat-mat.com_images_10_img2676.jpg

В качестве примера решения системы уравнений схемы гибели и размножения рассмотрим эксплуатацию автомобилей в крупной транспортной фирме.

Интенсивность поступления автомобилей на предприятие равна www.stat-mat.com_images_10_img2677.jpg . Каждый поступивший на предприятие автомобиль списывается через случайное время www.stat-mat.com_images_10_img2678.jpg. Срок службы автомобиля www.stat-mat.com_images_10_img2679.jpg распределен по показательному закону с параметром www.stat-mat.com_images_10_img2680.jpg. Процесс эксплуатации автомобилей является случайным процессом. www.stat-mat.com_images_10_img2681.jpg – число автомобилей данной марки, находящихся в эксплуатации в момент времени t.

Рассмотрим два случая:

  1. нет ограничений на число эксплуатируемых автомобилей,
  2. на предприятии может эксплуатироваться не более n автомобилей.

Если в начальный момент t=0 на предприятии не было ни одного автомобиля, то решать систему уравнений нужно при начальных условиях:

www.stat-mat.com_images_10_img2685.jpg

Аналогично, если при t=0 эксплуатировалось k автомобилей, то начальные условия имеют вид:

www.stat-mat.com_images_10_img2688.jpg

Решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова при произвольном виде функции www.stat-mat.com_images_10_img2689.jpg не может быть найдено в аналитическом виде. Однако при постоянных интенсивностях потоков гибели и размножения и конечном числе состояний будет существовать стационарный режим. Система в этом случае является простейшей эргодической системой.

Если интенсивности потока поступления и списания автомобилей постоянны, то оказываются справедливы формулы:

1) Максимальное число автомобилей не ограничено:

www.stat-mat.com_images_10_img2690.jpg

2) Математическое ожидание (среднее значение) числа эксплуатируемых автомобилей:

www.stat-mat.com_images_10_img2691.jpg;

При ограниченном n

www.stat-mat.com_images_10_img2693.jpg

В этом случае математическое ожидание равно:

www.stat-mat.com_images_10_img2694.jpg

examination/mo/question23.txt · Последние изменения: 2014/01/15 12:19 (внешнее изменение)