Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:mo:question22

Финальные вероятности состояний системы

Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей www.stat-mat.com_images_10_img2642.jpg при www.stat-mat.com_images_10_img2643.jpg. В некоторых случаях существуют финальные (предельные) вероятности состояний:

www.stat-mat.com_images_10_img2644.jpg, www.stat-mat.com_images_10_img2645.jpg,

не зависящие от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент. Говорят, что в системе устанавливается предельный стационарный режим, при котором она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний www.stat-mat.com_images_10_img2646.jpg уже не меняются во времени. Система, для которой существуют финальные состояния, называется эргодической, а соответствующий случайный процесс – эргодическим.

Финальные вероятности системы могут быть получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если приравнять производные к нулю, а вероятностные функции состояний www.stat-mat.com_images_10_img2647.jpg в правых частях уравнений Колмогорова заменить на неизвестные финальные вероятности www.stat-mat.com_images_10_img2648.jpg.

Таким образом, для системы с www.stat-mat.com_images_10_img2649.jpg состояниями получается система www.stat-mat.com_images_10_img2650.jpg линейных однородных алгебраических уравнений с www.stat-mat.com_images_10_img2650.jpg неизвестными , которые можно найти с точностью до постоянного множителя. Для нахождения их точных значений к уравнениям добавляют нормировочное условие www.stat-mat.com_images_10_img2653.jpg, пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей через другие и отбросить одно из уравнений.

Рассмотрим следующий пример.

Имеется размеченный граф состояний системы www.stat-mat.com_images_10_img2654.jpg (рис.2). Необходимо составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и записать начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент система находилась в состоянии www.stat-mat.com_images_10_img2655.jpg.

Решение. Согласно приведенному выше мнемоническому правилу, система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

www.stat-mat.com_images_10_img2657.jpg

Начальные условия при www.stat-mat.com_images_10_img2658.jpg: www.stat-mat.com_images_10_img2659.jpg

При www.stat-mat.com_images_10_img2660.jpg функции www.stat-mat.com_images_10_img2661.jpg стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний системы. Поскольку финальные вероятности не зависят от времени, в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части принимаем равными нулю. При этом система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений вида:

www.stat-mat.com_images_10_img2662.jpg

Решая ее с учетом условия www.stat-mat.com_images_10_img2663.jpg, получим все предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой среднее относительное время пребывания системы в каждом из состояний.

Финальные состояния марковской системы с непрерывным временем существуют при следующих условиях:

  • плотности вероятности всех переходов не должны зависеть от времени www.stat-mat.com_images_10_img2664.jpg ;
  • из любого состояния системы возможен переход в любое другое состояние за конечное число шагов.

Например, для системы, изображенной на рис.3, финальные вероятности не существуют.

examination/mo/question22.txt · Последние изменения: 2014/01/15 12:19 (внешнее изменение)