Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:kg:question18

Аффинные преобразования пространства

При работе с трехмерными объектами, часто требуется совершать по отношению к ним различные преобразования: двигать, поворачивать, сжимать, растягивать, скашивать и т.д. При этом в большинстве случаев требуется, чтобы после применения этих преобразований сохранялись определенные свойства.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным (от англ. affinity – родство), если оно взаимно однозначно; образом любой прямой является прямая.

Преобразование называется взаимно однозначным, если разные точки переходят в разные; в каждую точку переходит какая-то точка.

Свойства аффинного преобразования в трехмерном пространстве: отображает n-мерный объект в n-мерный: точку в точку, линию в линию, поверхность в поверхность; сохраняет параллельность линий и плоскостей; сохраняет пропорции параллельных объектов – длин отрезков на параллельных прямых и площадей на параллельных плоскостях.

Любое аффинное преобразование задается матрицей 3×3 с ненулевым определителем и вектором переноса:

Посмотрим на это с точки зрения математики. R представляет собой матрицу линейного оператора над пространством трехмерных векторов. Вектор T требуется для осуществления параллельного переноса: если помножить ( 0 0 0 ) на любую матрицу 3×3, опять получим ( 0 0 0 ) – начало системы координат, относительно преобразования R, является неподвижно точкой. Требование, чтобы определитель был ненулевой, диктуется определением. По сути, если определитель матрицы R равен нулю, то всё пространство переходит в плоскость, прямую или точку. Тем самым не соблюдается взаимная однозначность.

На практике удобно задавать аффинное преобразование одной матрицей. При этом используются однородные координаты, введенные в предыдущей статье. Аффинное преобразование будет задаваться следующей матрицей 4×4:

Заметим, что первые три значения последней строки равны 0. Это необходимое условие того, что преобразование будет аффинным. В общем случае произвольная матрица размера 4×4 задает проективное преобразование. Такие преобразования, как можно догадаться из названия, используются для проецирования трехмерной сцены.

examination/kg/question18.txt · Последние изменения: 2014/01/15 08:19 (внешнее изменение)