Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:kg:question12

Поворот

Поворот плоскости и его матричное представление

Ниже речь пойдет о поворотах плоскости. С плоскостью все получается относительно несложно. Если мы делаем поворот относительно начала координат, то для задания вращения используется один угол (φ).

Прим. Принято считать направление вращения против часовой стрелки положительным. При этом удобно считать, что угол φ находится в интервале [–π; π].

Чтобы получить преобразование координат при повороте, возьмем произвольный вектор r, задающий некоторую точку. Его координаты:

При повороте на угол φ:

Т.о. при повороте на угол φ координаты x и y подвергаются преобразованию, написанному выше.

Прим. Здесь фактически была использована полярная система координат.

Матричное представление поворота плоскости

Написанное выше преобразование координат удобно представить в виде матрицы:

Прим. Умножение матриц производится по принципу строка на столбец. Поэтому количество столбцов (элементов в строке) в матрице слева должно совпадать с количеством строк (элементов в столбце) в матрице справа.

Какие преимущества дает матричное представление? Заметим, что если умножить две матрицы, задающие повороты на углы α и β, то получится матрица поворота на угол α + β. Это легко проверить, перемножив соответствующие матрицы и использовав формулы для косинуса и синуса суммы.

3x3

Матрица поворота 2×2 была подробно разобрана ранее. Теперь она дополняется строкой и столбцом:

[ cos(phi) ~~~ sin(phi) ~~ 0 ]

[ -sin(phi) ~~ cos(phi) ~~ 0 ]

[ 0 ~~~~~~~~ 0 ~~~~~~~~ 1 ]

Прим. При угле phi = п эта матрица задает центральную симметрию относительно начала координат, которая является частным случаем поворота. Можно заметить, что такую симметрию можно задать с помощью преобразования сжатия/растяжения (допуская отрицательные коэффициенты масштабирования).

examination/kg/question12.txt · Последние изменения: 2014/01/15 12:19 (внешнее изменение)