Инструменты пользователя

Инструменты сайта


examination:avs:question38

38.Прямое и обратное Z-преобразования

Z-преобразование представляет собой разложение функций в ряды степенных полиномов по z. Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно «открыто» В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-k. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от минус бесконечности до плюс бескоечности.

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временнОй области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляциии с различными частотами и скоростями нарастания/затухания. В общем случае, z-преобразование – это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения S(z) конечны, называют областью сходимости.

Запишем дискретный сигнал sk в виде суммы весовых импульсов Кронекера:

Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при .

Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме:

На практике X(z) в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:

Самые распространенные методы обратного преобразования из этой формы X(z):

  • Преобразование интегрированием по контуру (метод вычетов).
  • Метод разложения на элементарные дроби.
  • Метод разложения в степенной ряд.

Метод разложения в степенной ряд наиболее прост и пригоден для выполнения на компьютерах, но он не дает решения в аналитической форме. При задании большого числа точек обратного преобразования требуется также следить за возможным нарастанием числовых ошибок вследствие рекурсии его алгоритма.

Два первых метода позволяют получать результаты в аналитическом виде, но требуют вычисления полюсов функции X(z), что может представлять трудности при высоком порядке функции. При высоких порядках полюсов потребуется также дифференцирование соответствующих порядков.

examination/avs/question38.txt · Последние изменения: 2014/01/15 12:10 (внешнее изменение)