24. Операторный метод расчета переходных процессов. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторная схема замещения. Формула разложения. Пример расчета операторным методом простой R-L-C цепи.

 

Операторный метод расчета ПП.

 

Операторный метод оперирует не функциями действительной переменной времени, а функциями комплексной переменной  p = a + jb, при этом первые называются оригиналами, а вторые изображениями по Карсену –Хевисайду. Отличие преобразования К – Х от преобразования Лапласа в умножении на р функции перехода от оригинала к изображению.

 

 

Изображением константы по К-Х является константа

Изображение  дифференциала по К-Х

 

 

 

Рассмотрим участок цепи

 

 

Опишем рассмотренный участок цепи, используя 2-е правило Кирхгофа:

 

 

Перейдя от оригинала к изображению, получим:

 

 

 

 

Полученное выражение I(p) – закон Ома в операторной форме.

 – полное операторное сопротивление цепи.

 

В числителе полученного выражения кроме е и Uab присутствуют еще 2 слагаемых, которые называются внутренней ЭДС и обусловлены запасом энергии в индуктивности и емкости. При ненулевых начальных условиях внутренняя ЭДС не равна нулю.

 

I правило Кирхгофа в операторной форме

 

Алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле равна нулю.

 

 

II правило Кирхгофа в операторной форме

 

Алгебраическая сумма операторных падений напряжений вдоль любого контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС вдоль этого же контура.

 

 

Расчет ПП в последовательной RLC цепи операторным методом

 

На I этапе расчета записываются дифференциальные уравнения, описывающие цепь, и преобразовываются для изображений.

 

Возможен другой вариант, а именно, исходная схема преобразовывается в схему для изображений и после этого описывается уравнениями, содержащими изображения

 

 

Приведению к операторной форме подлежат индуктивности и емкости.

 

Условным графическим изображением операторной формы является

 

Направление внутренней ЭДС катушки совпадает с током через нее в начальный момент времени.

 

Стрелка внутренней ЭДС конденсатора направлена в сторону более высокого потенциала на обхватках этого конденсатора.

 

 

 

 

 

 

Задача

 

Дано:  R  = 10 Ом

           L = 1 мГн

           с = 100 мкФ = 10-4Ф

           Uc = 20 B

           E = 40 B

 

 

Для перехода от изображения вида  с случае, если порядок полинома числителя не выше  порядка полинома знаменателя и полином знаменателя не имеет нулевых и кратных корней, используется формула разложения

 

 

Выражение M(p) = 0 называется характеристическим уравнением.

 

Его название обусловлено тем, что по виду корня можно судить о характере ПП. Если корни действительные  - ПП апериодический, если комплексные  - колебательный.

 

·        Действительные корни и действительные части комплексных корней всегда отрицательные.

 

М(р) = 0          10-7р2+10-3р+1=0

                       

Д = 10-6-4*10-7

 

  

 

 

 

M’ (p) = 2*10-7p+10-3

 

M’(p1)= 2*10-7(-8873)+10-3 = -7,746*10-4

 

M’(p2)= 2*10-7(-1127)+10-3 = 7,746*10-4

 

N(p1)=2*10-3(-8873) = -17,746

 

N(p2)=2*10-3(-1127) = -2,254

 

 



 

Величина  p=1/T называется показателем затухания.

 

Полученные значения говорят о том, что первая составляющая свободного тока затухает быстрее, чем вторая Т1 = 1/|p1|   T2 = 1/ |p2|

 

Чтобы при посторении графика ПП не «потерять» первую составляющую, шаг посторения нужно выбрать в несколько раз меньше времени Т1

 

Постоение графика ПП целесообразно вести до времени Т2

 

 

 

Если изменить параметры цепи изменится характер  ПП( второй пример приводит не буду)