22. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Природа переходных процессов. Законы коммутации и начальные условия. Вывод выражений для свободной и принужденной составляющих токов и напряжений при последовательном соединении активного сопротивления и индуктивности и при последовательном соединении активного сопротивления и емкости.

 

1.      Природа переходных процессов

 

Любое скачкообразное изменение цепи называется коммутацией.

 

Обозначение

Коммутация приводит к переходу цепи из  одного установленного состояния в другое. Это переход происходит в течении некоторого времени и называется переходным процессом.

 

Характер ПП определяется параметрами цепи и начальными условиями, но общим для всех ПП является плавное нескачкообразое изменение магнитного поля индуктивности или электрического поля конденсатора.

 

Скачкообразное изменение энергии противоречит законам природы и потребовало бы бесконечно большой мощности P = dU/dt = ∞.

 

Попытка обойти закон природы, например, мгновенно прервать ток в цепи индуктивности оборачивается возникновением дуги в месте разрыва или пробоем изоляции катушки.

 

Очень часто ПП являются обычными режимами работы цепи. Например, коммутация коллектора или щеток эл. машины, переключатели тиристоров в управляемом выпрямителе. Не отрегулированная коммутация  щеточно-коллекторного аппарата приводит к его выгоранию, а неправильный учет ПП в полупроводниковых  устройствах приводит к пробою электрических приборов.

 

2.      Закон коммутации и начальные условия

 

Тезис о плавном изменении энергии цепи применительно катушки трансформируется в принцип непрерывности во времени ее потока сцепления, а применительно к конденсатору в принцип непрерывности его электрического заряда.

 

Скачкообразные изменения потока сцепления означало бы увеличение ЭДС  самоиндуктивности до бесконечности, чего быть не может.

 

Потокосцепление одной катушки зависит от ее потока, значит изменение тока через индуктивности может быть только непрерывным.

 

Т.о. закон коммутации для индуктивности (I закон коммутации) формулируется так:

 

в начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности остается таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется

 

I закон iL(O+) = iL(O-)

 

При этом напряжение может измениться скачком

 

 

 

При скачкообразном изменении заряда конденсатора зарядный ток через него также  достиг бы бесконечности.

 

Заряд конденсатора зависит от его напряжения, в этой связи закон коммутации для конденсатора (II закон коммутации) можно сформулировать так:

 

в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости остается таким же, каким оно было  непосредственно до коммутации, а затем плавно изменяется

 

II закон Uc(O+)= Uc(O-)

 

Ток через конденсатор может  измениться скачком.

 

Значения величин, обозначенные О+, называются докоммутационными начальными значениями, а обозначенные О - - послекоммутационными  начальными значениями.

 

Послекоммутационные  начальные значения делятся на зависимые и независимые.

 

К  1-м  относятся напряжения на конденсаторах и токи через индуктивности.

 

Ко 2-м относятся все остальные токи и напряжения.

 

В случае, когда начальные значения равны, нередко они называются нулевыми. В этом случае индуктивность сразу после коммутации эквивалентна разрыву цепи, а емкость  - короткому замыканию.

 

В случае ненулевых начальных значений индуктивность в момент времени О+ представляет собой идеальный источник тока, а емкость  - идеальный источник ЭДС.

 

3.      Свободная и принужденная составляющая токов и напряжений.

 

a)     при последовательном соединении активного сопротивления и индуктивности

 

При замыкании ключа в образованном контуре потечет ток и цепь может быть описана уравнением

 

Ri+L = E

 

 

                                 

 

                                       

 

Решение уравнения с разделенными переменными имеет вид

 

 

    =>

 

        =>

 

 

 

Полученное уравнение для тока после коммутации состоит из 2-х частей: так называемой свободной составляющей  

 

и принужденной составляющей  

 

Принужденная составляющая или принужденное значение Е/R  - это то значение, к которому стремится ток в переходном режиме.

 

Свободная составляющая накладывается на принужденную или по существу определяет характер ПП.

 

При  t = ∞ свободная составляющая стремится к нулю. Теоретически это время бесконечно, но в  действительности ПП  заканчиваются  и в инженерной практике время установившегося ПП  определяется как    - постоянная времени RL цепи

 

За время 5Т координата входит в 2-х процентную зону ошибки, т.е. ее значение отличается от установленного на 2% (p.s. я так предполагаю, что не более чем на 2%).

 

 

Постоянная времени может быть ограничена графически,  она равна длине касательной в экспоненте.

 

Как следует из полученной функции, время ПП зависит только от соотношения L и R и не зависит от начального и конечного значений тока.

 

Если постоянную ЭДС в цепи заменить на синусоидальную, то в подходе к решению задачи принципиально ничего не изменится.

 

Принужденная постоянная тока будет изменяться с частотой питающей ЭДС, а свободная постоянная будет зависеть от значения ЭДС в момент коммутации.

 

Напряжение в рассмотренной цепи можно определить как

 

 

b)     при последовательном соединении активного сопротивления и емкости

 

 

 

=>  =>  =>

 

 =>  ,  =>

 

 =>   =>

 

  =>    => 

 

 

 

 

Ток в рассмотренной цепи можно определить как