Принятие решений в условиях, зависящих от объективной действительности (игры с Природой). Описание проблемы в матричной форме. Матрицы выигрышей и матрицы рисков. Отличие от задач теории игр.

Небольшие пояснения по теме.

Мажорирование (доминирование) представляет отношение между стратегиями, нали- чие которого во многих практических случаях дает возможность сокра- тить размеры исходной платежной матрицы игры.

Игры с Природой.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные "ходы" партнер по игре. Поэтому термин "природа" характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых "игроком" 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

Описание проблемы в матричной форме. Матрицы выигрышей и матрицы рисков.

Матрица игры с природой аналогична матрице стратегической игры: A = ∥aij ∥m,n,гдеaij— выигрыш игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i = 1, ... , m; j = 1, ... , n).

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет m возможных стратегий: А1,А2,...,Am , а у природы имеется n возможных состояний (стратегий): П1, П2,..., Пn, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей игрока 1:

A = (        П1    П2   ...   Пn  )
|  A1    a11   a12  ...   a1n |
||                             ||
|  A2    a21   a22  ...   a2n |
(  ...   ...   ...  ...   ... )
   A    a     a     ...  a
     m    m1    m2         mn

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или сово- купность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объеди- ненных в понятие "природа").

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков R = ∥rij∥m,n или матрицы упущенных возможностей. Величина риска — это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матри- ца R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей А.

Риском rij игрока при использовании им стратегии Аi и при со- стоянии среды Пj будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием среды будет Пj , и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) Пj, игрок выбирает ту страте- гию, при которой его выигрыш максимальный, т.е. rij = βj - aij,гдеβ = max  aij
 1≤i≤m при заданном j.

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока (чистую или смешанную, если последняя имеет смысл), которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необходимо отметить, что в игре с природой понятие смешанной стра- тегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтернативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие стратегии (например, выбор альтернативных проектов). Вначале следует проверить, нет ли среди стратегий игрока мажо- рируемых, и, если таковые имеются, исключить их.

Отличие от задач теории игр.

Мажорирование стратегий в игре с природой имеет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех j = 1,...,nakj alj,k,l = 1,...,m,тоk - ю стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычеркивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопустимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в "игре" с человеком, для нее нет целенаправленно выигрышных или проигрышных стратегий, она действует неосознанно.