9.Схема Жордана. Общая характеристика метода.

Метод Жордана

Этот метод, как и метод Гаусса, является методом исключения, предназначенным для системы линейных уравнений  ( матрица  Аневырожденная).    Отличие от схем метода   Гаусса в том, что путем преобразований матрица   А   приводится не к треугольному, а к диагональному виду. В результате исходная система линейных уравнений  приобретает вид:

 

 

 

 

Обратный ход в схемах Жордана становится формальностью.

 

Классическая схема Жордана

Как и в схемах Гаусса, здесь удобно использовать расширенную матрицу системы . Классическая схема  Жордана реализуется за n шагов. Описание  k-го шага  (k =1,2...n).

1). Делим k- ю строку расширенной матрицы    на элемент :

j = 1, 2, ...,n + 1.                   

2). Из строк с номерами    вычитаем  k-ю строку, умноженную на числовой коэффициент  так, чтобы в  k-ом  столбце расширенной матрицы  получить нули над и под элементом :

                                      j = 1, 2, ...,n + 1.        

 

Эта схема наиболее простая из всех схем исключения.

 

Схема оптимального исключения

Данная схема отличается от классической тем, что на k-ом шаге получают нули не во всем столбце расширенной матрицы,  а только над диагональным элементом , а перед этим  обнуляют элементы k-ой строки левее .

Описание алгоритма.

1). Номер ведущей строки  k = 1.   Делим  1-ю строку на :

 j = 1, 2, ...,n + 1.                       и переходим к 5 пункту

2).  Из k-ой строки вычитаем строки с номерами  i = 1, 2, ... , k-1, умноженные на  с тем, чтобы получить нули левее :

       j = 1, 2, ...,n + 1;    i < k.

3). Делим  k-ю строку на , получая единицу на главной диагонали:

    j = k, k+1, ...,n + 1.

4). Из строк с номерами  i =1, 2, ... , k-1  вычитаем  k-ю строку, умноженную на  с тем, чтобы получить нули над :

             j = k, k+1, ...,n + 1;       i < k.

В результате выполнения   k-го   шага расширенная матрица  примет вид:

                                  

 

 

 

 

 

5). Увеличиваем номер шага k = k+1 и, если  kn, переходим ко второму пункту.

 

            Реализация схем Жордана требует примерно такого же количества арифметических операций, как и схемы Гаусса. Схема оптимального исключения позволяет экономить память ЭВМ за счет того, что рабочая часть расширенной матрицы   на k-м  шаге содержит только k строк, нет необходимости хранить всю матрицу, равно как и нулевые элементы в уже обработанной части матрицы. Необходимое для использования схем Жордана условие: . Если элементы главной диагонали матрицы  в процессе работы метода оказываются равными   или близкими к нулю, то можно использовать модификации метода с перестановкой строк или столбцов, аналогичные соответствующим модификациям метода Гаусса.