7. Нормы векторов и матриц, их свойства.

 

Нормой вектора называют некоторую числовую функцию компонент вектора, удовлетворяющую определенным свойствам. Аналогично может быть определена норма матрицы  А. При этом норму матрицы вводят так, чтобы она была определенным образом связана (согласована) с используемой нормой вектора. Такие матричные нормы называют согласованными. Наименьшая из согласованных матричных норм носит название подчиненной или операторной нормы.

 

Нормой вектора Х (n-мерный вектор) называется число обладающее следующими свойствами:

1.     ||X||≥0

2.     ||αX||=|α|*||X||

3.     ||X+Y||≤||X||+||Y|| (неравенство треугольника);

 

Эти условия являются аксиомами нормы.

 

Вектор с единичной нормой (||x|| = 1) называется нормальным или нормированным.

 

Для вектора , могут быть, в частности, введены следующие нормы:

||X||q=(|X1|q+|X2|q+…+|Xn|q)1/q гельдеровская норма.

; кубическая норма.

; октоэдрическая норма.

                              - евклидова норма(сферическая).

 

Нормой матрицы A называется вещественное число \|A\|, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. \|A\| \geqslant 0, причём \|A\| = 0только при A = 0\ ;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|, где \alpha\in\R;
  3. \|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|.
  5. ||AX||≤||X||*||A|| (*).

 

Соответствующие подчиненные нормы матрицы А вводятся следующим образом:

                                                                                      (**)

;                                                                    (1)

;                                                                    (2)

      .                                                                      (3)

где  i – номер строки,  j – номер столбца матрицы A,   ,     m1 - максимальное по модулю собственное число матрицы   АТА. Первые две матричные нормы легко вычисляются. Что касается последней, то она часто бывает удобной для анализа, но непосредственное вычисление ее в общем случае затруднительно. Поэтому в приведенных ниже примерах и задачах  как правило не вычисляется.

 

Любой ненулевой вектор x можно нормировать, то есть разделить его на свой модуль: вектор \frac{x}{|x|}имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

 

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

 

Матричная норма \| \cdot \|_{ab}из K^{m \times n}называется согласованной с векторной нормой \| \cdot \|_{a}из Kn и векторной нормой \| \cdot \|_{b}из Km если справедливо:

\|Ax\|_b \leq \|A\|_{ab} \|x\|_a

для всех A \in K^{m \times n}, x \in K^n.

 

Свойства нормы

  1.  \mid \| x \| - \| y \| \mid \le \| x \pm y \| \le \| x\| + \| y \|
  2.  (\| x \| - \| y \|)^2 \le \| x+y \|^2 \le (\| x \| + \|y \|)^2
  3.  \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1] [косинус угла]
  4.  \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0
  5.  0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0[аксиома 1]

 

Эквивалентность норм