6. Общая характеристика систем линейных уравнений и методов их решения.

 

В общем случае линейная система, составленная из К линейных уравнений относительно n неизвестных примет вид:

\left.
\begin{gathered}
a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\ldots \\
a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = b_k
\end{gathered}
\right\}

где x1, x2, ..., xn - неизвестные; a11, a12, ..., akn - коэффициенты при неизвестных; b1, b2, ..., bk - свободные члены.

Т.е. , где

;                   .

 

 

 

 

 

Решением системы (1) называется совокупность из n чисел (с1, с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему (1) на место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства.

 

 Систему уравнений (1), имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

 

Решения \left( c_1^{(1)}, c_2^{(1)}, \ldots c_n^{(1)} \right)и \left( c_1^{(2)}, c_2^{(2)}, \ldots c_n^{(2)} \right)считают различными, если хотя бы одно из чисел c_i^{(1)}не совпадает с соответствующим числом c_i^{(2)}.

 

Например, система

\left.
\begin{aligned}
& 3x_1+4x_2=0 \\
& 6x_1+8x_2=0
\end{aligned}
\right\}

имеет различные решения c_1^{(1)}=c_2^{(1)}=0и c_1^{(2)}=4; \; c_2^{(2)}=-3. Системы, имеющие хотя бы 2 различных решения, имеют бесконечное количество разных решений.

 

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

 Если система \left.
\begin{gathered}
a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = 0 \\
\ldots \\
a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = 0
\end{gathered}
\right\}

 

совместна, то она имеет бесконечное множество ненулевых (невырожденных) решений и называется однородной системой.

 

Однородная система всегда совместна и всегда имеет хотя бы одно нулевое решение.

 

Если система имеет единственное нулевое решение, то такая система называется вырожденной.

 

Если система имеет количество уравнений меньшее, чем количество неизвестных, то такая система называется недоопределенной, а если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то – переопределенной.

 

Матрицы недоопределенной и переопределенной систем  как правило прямоугольные. Решаются такие системы специальными методами, относящимися к разделу линейного программирования.

 

Все методы решения поставленной задачи (1) можно разбить на две группы – прямые итерационные методы.

 

Прямые методы решения позволяют найти Х* за конечное число шагов. Если исходные данные – точные, то, производя вычисления без округлений (в простых дробях), мы получаем точное решение системы. Однако, при больших  это невозможно. При решении все промежуточные вычисления осуществляют с одним-двумя запасными знаками, а результат округляют до требуемой точности, либо оставляют столько знаков после запятой, сколько их в исходных данных (коэффициентах системы).

 

Погрешность полученного решения  характеризует норма вектора невязки , т.е. число .