49 Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Постановка задачи. Метод Рунге-Кутта. Оценка погрешности.

 

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка формулируется следующим образом:  нужно найти функцию y = f(x), удовлетворяющее дифференциальному уравнению

 = g(x, y1, y2, …, yn)

И начальным условиям

y(x0) = y0

Нам требуется найти приблизительное решение Задачи Коши  в виде функции

Иначе говоря равномерной сетки hx с шагом h, то есть значения функции Расчет значений приближенного решения в узлах сетки осуществляется для всех рассматриваемых численных методов решения задачи Коши по правилу

 

 

Таким образом, отличие одного численного метода от другого заключается лишь в способе построения Djh(xk), k = 0, 1, 2, …, m – 1.

Оценки погрешностей и сходмости.

Определение 1

Численный метод решения задачи Коши имеет порядок точности k > 0, если существует такое число q > 0, при котором выполнено условие

ôjh(xm) – f(xm)ô£ qhk.

(разница между приблизительным и точным решением у узлах сетки < такого-то значения)

Определение 2

Численный метод решения задачи Коши сходится в точке xm = b(в конечной точке промежутка), если выполнено условие

lim (jh(xm) – f(xm)) = 0

h ® 0

 

Следует отметить, что при стремлении шага h сетки к нулю общее количество узлов m равномерной сетки hx на отрезке [a, b] стремится к бесконечности.

Определение 3

Численный метод решения задачи Коши сходится на отрезке [a, b], если он сходится в каждой точке этого отрезка.

 

 

Метод Рунге - Кутта четвертого порядка

Пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

y¢ = g(x, y)

y(x0) = y0

где y0 – заданное число.

 

Зададим на отрезке [a, b] равномерную сетку 

hx = {xi  / xi = xi – 1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x0 = a, xm = b},

где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки; h – шаг сетки.

 

В соответствии с методом Рунге – Кутта четвертого порядка будем строить приближенное решение jh(x) задачи по правилу:

 

 

Где соответствующие коэффициенты строятся следующим образом

 

 

Особенность этого метода, в том ,что здесь вычисления осуществляются не только в узлах сетки, как в методе Эйлера, но и в промежуточных точках.

Результаты вычислений методом Рунге – Кутта удобно записывать
в таблиц
у

j

x

y

K = hg(x, y)

aK

0

x0

jh(x0)

x0 + (h/2)

jh(x0) +

2

x0 + (h/2)

jh(x0)+

2

x0 + h

jh(x0) +

jh(x1) = jh(x0) + Djh(x0)

Djh(x0)

1

x1

jh(x1)

x1 + (h/2)

jh(x1) +

2

x1 + (h/2)

jh(x1) +

2

x1 + h

jh(x1) +

jh(x2) = jh(x1) + Djh(x1)

Djh(x1)

В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Рунге - Кутта.

1.      Метод сходится на отрезке [a, b] в соответствии с определением и имеет четвертый порядок точности .

По идее погрешность данного метода описывается следующим правилом (как было написано выше), причем здесь , так как у нас четвертый порядок точности

Численный метод решения задачи Коши имеет порядок точности k > 0, если существует такое число q > 0, при котором выполнено условие

ôjh(xm) – f(xm)ô£ qhk.

 

 

это число

2.      Относительно большое количество вычислений, необходимых для определения приближенных значений искомой функции в каждом узле сетки hx, при использовании метода компенсируется возможностью достижения необходимой точности в точке b при достаточно большом шаге h, что уменьшает количество узлов сетки. (Говоря по-русски, для метода Рунтге- Кутте не обязательно надо, чтобы шаг сетки был очень мелки, все равно там происходит деление пополам этой сетки..вроде бы так..)