48. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Постановка задачи. Метод Эйлера. Оценка погрешности метода.

 

Решение задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка формулируется следующим образом:  нужно найти функцию y = f(x), удовлетворяющее дифференциальному уравнению

 = g(x, y1, y2, …, yn)

И начальным условиям

y(x0) = y0

Нам требуется найти приблизительное решение Задачи Коши  в виде функции

Иначе говоря равномерной сетки hx с шагом h, то есть значения функции Расчет значений приближенного решения в узлах сетки осуществляется для всех рассматриваемых численных методов решения задачи Коши по правилу

 

 

Таким образом, отличие одного численного метода от другого заключается лишь в способе построения Djh(xk), k = 0, 1, 2, …, m – 1.

 

Оценки погрешностей и сходмости.

Определение 1

Численный метод решения задачи Коши имеет порядок точности k > 0, если существует такое число q > 0, при котором выполнено условие

ôjh(xm) – f(xm)ô£ qhk.

(разница между приблизительным и точным решением у узлах сетки < такого-то значения)

Определение 2

Численный метод решения задачи Коши сходится в точке xm = b(в конечной точке промежутка), если выполнено условие

lim (jh(xm) – f(xm)) = 0

h ® 0

 

Следует отметить, что при стремлении шага h сетки к нулю общее количество узлов m равномерной сетки hx на отрезке [a, b] стремится к бесконечности.

Определение 3

Численный метод решения задачи Коши сходится на отрезке [a, b], если он сходится в каждой точке этого отрезка.

 

Метод Эйлера.

Пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

где y0 – заданное число.

Далее задается равномерная сетка на отрезке [a, b]

где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки hx; h – шаг сетки.

Далее ищем функцию  jh(x)  (приблизительное решение диф. уравнения)  по итерационной схеме

 

 

1.      Метод этот является итерационным, то есть решение на каждом новом шаге получается из решения на предыдущем.

2.      Данный метод является наиболее простым из всех численных методов.

3.      Сходится на отрезке [a, b] в соответствии с определением и имеет первый порядок точности.

4.      Из-за невысокой точности крайне редко используется для вычисления

 

Погрешность данного метода

По идее погрешность данного метода описывается следующим правилом (как было написано выше), причем здесь , так как у нас первый порядок точности

 

Численный метод решения задачи Коши имеет порядок точности k > 0, если существует такое число q > 0, при котором выполнено условие

ôjh(xm) – f(xm)ô£ qhk.

это число