47. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности.

Необходимые и достаточные условия.

 

Пусть у нас имеется сетка

 

Смысл нахождения интеграла можно выразить следующей формулой

, где                            (1)

Мы хотим, чтобы (1) была точна для полиномов как можно большей степени.

 

Потребуем, чтобы квадратурная формула (1) была точна для всех полиномов порядка m:

                                                        (2)

 

Если выполнены условия (2), то квадратурная формула точна для всех полиномов до m-го порядка, где m выражается следующей формулой.

Если найти  и  из решения системы (2), то интерполяционная формула будет точна для полиномов до 2n-1 порядка. Это наивысшая алгебраическая точность.

 

Такие формулы называются формулами наивысшей алгебраической точности или формулами Гаусса.

 

 

Утверждение: пусть , тогда для того, чтобы квадратурная формула (1) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической точности необходимо и достаточно:

 

1) чтобы полином  с весом  был ортогонален на отрезке  любому полиному, степень которого не превышает n-1, то есть

, где  - полином порядка, не превышающего n-1.

 

2) Квадратурная формула (1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, то есть

                                                       (5)

                                                                     (6)

После определения узлов  из системы (6) коэффициенты  рассчитываются по формуле (5).