46. Квадратурные формулы интерполяционного типа.

 

Данный метод основывается на том, что таблично заданная функция заменяется полиномом в форме Лагранжа. 

 -интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

 

 

Нам требуется вычислить интеграл от функции в виде

 - задача интегрирования                                                                      (1)

 

 

Здесь -весовая функция, , которая чаще всего берется =  1                         (2)

, где -коэффициенты квадратурной формулы.                                   (3)

 

 

Таким образом, подставляя квадратурную формулу Лагранжа в Формулу интеграла получим:

 

 

Если учесть тот факт, что интеграл от суммы равен сумме интегралов, то можно поменять их местами

 

А значит, интеграл вычисленный с помощью интерполяционного полинома Лагранжа по сути заменяется на сумму элементарных площадей, или сумму элементарных интегралов от полинома Лагранжа.

 

Где коэффициенты  из формулы 3 как раз заменяются на элементарные интегралы

 

При выполнении этих условий формула (3) называется квадратурной формулой интерполяционного типа.

 

Если  и если , то получим формулу трапеций, как частный случай.

Если  и если , то получим формулу Симпсона.

 

Оценка погрешностей ( Наверное можно любой пользоваться, хз ):

Согласно последнему квадратурные формулы интерполяционного типа имеют n+1 порядок точности по h, они точны для всех полиномов до n-го порядка включительно.

Справедливо и обратное.

Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке называются также формулами Ньютона-Котесса.

 

Для формул Ньютона-Котесса характерно такое обстоятельство, что при  коэффициенты квадратурной формулы  могут иметь различные знаки. В этой связи практическое использование таких формул при  не рекомендуется, так как наличие коэффициентов разных знаков может приводить к вычислительной неустойчивости метода (если исходные данные  заданы с погрешностью, то погрешность результата может оказаться несоизмеримо больше погрешности исходных данных).

 

 

Обоснование выше сказанного:

-?

Задана сетка:

, где  и

Пусть

.

Если квадратурная формула точна, то ;   - погрешность, связанная с погрешностью исходных данных.

 

Если квадратурная формула не точна, то первое слагаемое не будет давать точного значения интеграла.

Если , то

В таком случае

Если среди  есть числа разных знаков, то что  не означает, что каждое  ограничено М. Тогда мы не можем сказать, что