45. Постановка задачи приближенного вычисления определенных интегралов. Формула Симпсона. Оценка погрешности интегрирования. Принцип Рунге. Автоматический выбор шага.

 

Часто, важной в практическом отношении является задача вычисления интеграла по функции, заданной таблично. Связанно это все с тем, что существует множество неберущихся интегралов или же просто неизвестна сама функция, а известны только ее значения в определенных узлах промежутка.

Как правило, все формулы для численного интегрирования называются квадратурными.

 

Об численном интегрировании в общих чертах.

            Если представить, что какая-нибудь функция , которая точно определена на промежутке [a;b], и нужно найти определенный интеграл от этой функции

 

 

который точно существует.

Если считать, что на равномерной сетки заданы значения этой функции  с шагом

hx = {xi  / xi = xi –1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b},

то для приближенного вычисления этого интеграла он заменяется суммой (ну по сути определение интеграла- что интеграл, это конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю ранга дробления, вот тока в нашем случае к нулю ранг нихрена не стремится, шаг у нас всегда фиксированный ). Мы заменяем суммой

 

 

Здесь вроде бы как это шаг для интегрирования,  это вроде бы как значение функции на промежутке интегрирования, эта функция как раз и меняется в зависимости от метода численного интегрирования ,  - это погрешность квадратурной формулы.

 

Формула Симпсона.

Смысл формулы Симпсона в том, что на каждом отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 происходит замена кривой параболической функцией zk = akx2 + bkx + ck, где коэффициенты ak, bk и ck  вычисляются так, чтобы эта кривая, на которую мы заменяем проходила через точки

(xk, f(xk)), (xk + 1, f(xk + 1)) и (xk + 2, f(xk + 2)).

 

 

Далее площадь под кривой  y = f(x) на каждом шаге [xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 ,  заменяется на на площадь новой параболической трапеции, ограниченной сверху кривой

zk = akx2 + bkx + ck

 

 

 

·         Таким образом получается формула Симпсона  для каждого отрезка в следующем виде

 

 

( это вроде как обычный шаг ).

 

·         Либо составная квадратурная формула Симпсона (параболических трапеций) для отрезка [a, b]

 

 

 

Погрешность метода Симпсона можно оценить следующей формулой

 

1.       Для первой квадратурной формулы погрешность можно оценить следующим образом

 

 

где  – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [xk, xk + 2]

 

2.       Для составной квадратурной формулы Симпсона (4.3.24)

,

 

 

где M4 – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [a, b].

 

Таким образом можно сказать ,что квадратурная формула Симпсона имеет 5 порядок точности, а составная формула Симпсона имеет 4 порядок точности.

 

 

Правило Рунге с автоматическим выбором шага. –хреново написано, нормальной инфы не смог найти

Это правило нужно для того, чтобы можно было добиться необходимой точности при численном интегрировании за счет изменения длинны шага, а также для того, чтобы не требовалось вычислять вторую или первую производную, потому как если есть одна таблица, это будет накладно весьма.

Таким образом нужно добиваться того, чтобы

- интеграл, вычисленный при обычном размере шага

- интеграл, вычисленный при вдвое меньшем размере шага

 порядок точности, для квадратурных формул левых и правых прямоугольников  =  2, для квадратурной формулы центральных и формулы и трапеций  =  3.

 

В принципе, нужно уменьшать шаг пока не будет достигнута необходимая тогность.

 

( в этом не уверен вопросе)