44. Постановка задачи приближенного вычисления определенных интегралов. Формула трапеций. Оценка погрешности интегрирования. Принцип Рунге. Автоматический выбор шага.

 

Часто, важной в практическом отношении является задача вычисления интеграла по функции, заданной таблично. Связанно это все с тем, что существует множество неберущихся интегралов или же просто неизвестна сама функция, а известны только ее значения в определенных узлах промежутка.

Как правило, все формулы для численного интегрирования называются квадратурными.

 

Об численном интегрировании в общих чертах.

            Если представить, что какая-нибудь функция , которая точно определена на промежутке [a;b], и нужно найти определенный интеграл от этой функции

 

 

который точно существует.

Если считать, что на равномерной сетки заданы значения этой функции  с шагом

hx = {xi  / xi = xi –1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b},

то для приближенного вычисления этого интеграла он заменяется суммой (ну по сути определение интеграла - что интеграл, это конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю ранга дробления, вот тока в нашем случае к нулю ранг нихрена не стремится, шаг у нас всегда фиксированный ). Мы заменяем суммой

 

 

Здесь вроде бы как это шаг для интегрирования,  это вроде бы как значение функции на промежутке интегрирования, эта функция как раз и меняется в зависимости от метода численного интегрирования ,  - это погрешность квадратурной формулы.

 

Формула трапеций

Смысл формулы трапеций в том, на каждом шаге  разбиения [xk, xk + 1], происходит замена области интегрирования на трапецию, формула трапеций выглядит следующим образом.

Составная формуа метода трапеций будет выглядит следующим образом

 

 

Для вычисления погрешности можно воспользоваться формулой.

 

 

Где  - максимум модуля второй производной в точке . Данный метод немного отстает от метода центральных прямоугольников, так как там погрешность =

 

 

Правило Рунге с автоматическим выбором шага. –хреново написано, нормальной инфы не смог найти

Это правило нужно для того, чтобы можно было добиться необходимой точности при численном интегрировании за счет изменения длинны шага, а также для того, чтобы не требовалось вычислять вторую или первую производную, потому как если есть одна таблица, это будет накладно весьма.

Таким образом нужно добиваться того, чтобы

- интеграл, вычисленный при обычном размере шага

- интеграл, вычисленный при вдвое меньшем размере шага

 порядок точности, для квадратурных формул левых и правых прямоугольников  =  2, для квадратурной формулы центральных и формулы и трапеций  =  3.

В принципе, нужно уменьшать шаг пока не будет достигнута необходимая тогность.

 

( в этом не уверен вопросе)