43. Постановка задачи приближенного вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников. Оценка погрешности интегрирования. Принцип Рунге. Автоматический выбор шага.

 

Часто, важной в практическом отношении является задача вычисления интеграла по функции, заданной таблично. Связанно это все с тем, что существует множество неберущихся интегралов или же просто неизвестна сама функция, а известны только ее значения в определенных узлах промежутка.

Как правило, все формулы для численного интегрирования называются квадратурными.

 

Об численном интегрировании в общих чертах.

            Если представить, что какая-нибудь функция , которая точно определена на промежутке [a;b], и нужно найти определенный интеграл от этой функции

 

 

который точно существует.

Если считать, что на равномерной сетки заданы значения этой функции  с шагом

hx = {xi  / xi = xi –1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b},

то для приближенного вычисления этого интеграла он заменяется суммой (ну по сути определение интеграла- что интеграл, это конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю ранга дробления, вот тока в нашем случае к нулю ранг нихрена не стремится, шаг у нас всегда фиксированный ). Мы заменяем суммой

Здесь вроде бы как это шаг для интегрирования,  это вроде бы как значение функции на промежутке интегрирования, эта функция как раз и меняется в зависимости от метода численного интегрирования ,  - это погрешность квадратурной формулы.

           

         Формулы прямоугольников.

Формула прямоугольников в свою очередь делится на 3 подвида.

1.      Формула левых прямоугольников

2.      Формула правых прямоугольников

3.      Формула центральных прямоугольников

Каждая из этих формул отличается лишь выбором значения

 

Формула левых прямоугольников.

 - здесь на каждом шаге выбирается левое значение (  ) функции на промежутке

 

 

            Погрешность данной формулы может вычисляться

, где -  это максимум модуля первой производной функции  на к-м частичном отрезке [xk, xk + 1]

 

 

Формула правых прямоугольников.- по сути тоже что и предыдущее

 - здесь на каждом шаге выбирается правое значение (  ) функции на промежутке

 

 

            Погрешность данной формулы может вычисляться

, где -  это максимум модуля первой производной функции  на к-м частичном отрезке [xk, xk + 1]

 

Формула центральных прямоугольников - круче предыдущих меньшей погрешностью

 - здесь на каждом шаге выбирается правое значение (  ) функции на промежутке

 

 

            Погрешность данной формулы может вычисляться

, где -  это максимум модуля второй (!!!) производной функции  на к-м частичном отрезке [xk, xk + 1], что по сути круче гораздо чем в предыдущих методах, постольку поскольку погрешность значительно меньше.

 

 

Правило Рунге с автоматическим выбором шага. –хреново написано, нормальной инфы не смог найти

Это правило нужно для того, чтобы можно было добиться необходимой точности при численном интегрировании за счет изменения длинны шага, а также для того, чтобы не требовалось вычислять вторую или первую производную, потому как если есть одна таблица, это будет накладно весьма.

Таким образом нужно добиваться того, чтобы

 

 

- интеграл, вычисленный при обычном размере шага

- интеграл, вычисленный при вдвое меньшем размере шага

 порядок точности, для квадратурных формул левых и правых прямоугольников  =  2, для квадратурной формулы центральных и формулы и трапеций  =  3.

 

В принципе, нужно уменьшать шаг пока не будет достигнута необходимая тогность.