4. Решение нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Общая характеристика метода. Сходимость, скорость сходимости, устойчивость к вычислительным погрешностям.

 

Уравнение

                                                                         (1)

тем или иным образом разрешают относительно  х  и приводят к виду

 .                                                                 (2)

Затем, начиная с некоторого , по рекуррентной  формуле:

.

строится последовательность .

В качестве начального приближения можно взять любую точку  из промежутка изоляции .   Для сходимости метода достаточно обеспечить выполнение условия:  

,                                             (3)

(чем ближе    к нулю, тем быстрее фактическая сходимость).

В качестве критерия остановки расчетов может быть использовано выполнение соотношения: . Приближенное значение корняпоследнее вычисленное значение  x,   т.е.  .

 Метод простой итерации прост в реализации, сходится при выполнении достаточных условий сходимости, например, (3). 

Но есть некоторые проблемы реализации:

Переход от уравнения (1) к уравнению (2) не всегда прост, но это решается с помощью .

Проблема обеспечить условие сходимости. Решение: , тогда  и за счет к добиваемся .

Скорость сходимости этого метода линейная, при определенных условиях сверхлинейная.