38. Формулы Ньютона для интерполирования в начале и в конце таблицы.

 

Пусть на отрезке [a, b] задана одномерная сетка

hx = {xi  / xi = x– 1 + hi, hi > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b},

в узлах xi которой заданы значения yi = f(xi), i = 0, 1, 2, …, n – соответствующие значения функции f(x).

 

Интерполяционный полином в форме Ньютона для x Î (a, b) может быть записан в виде

Pn(x) = f(x0) + f(x0, x1)×(xx0) + f(x0, x1, x2)×(xx0)(xx1) + …

…+ f(x0, x1, x2, …, xn – 1, xn)×(xx0)(xx1) … (xxn - 2)(xxn - 1)    (3.3.1)

 

 

Формулу (3.3.1) для интерполяционного полинома в форме Ньютона можно записать для любого способа упорядочивания узлов. Так, например, при упорядочивании узлов в обратном порядке (xn, xn – 1, xn – 2, …, x2, x0) формула (3.3.1) для представления интерполяционного полинома в форме Ньютона примет вид

Pn(x) = f(xn) + f(xn, xn – 1)×(xxn) + f(xn, xn – 1, xn – 2)×(xxn)(xxn – 1)+…

…+ f(xn, xn – 1, xn – 2,… x1, x0)×(xxn)(xxn – 1)… (xx2)(xx1).     (3.3.3)

 

Если интерполяционный полином в форме Ньютона Pn(x) определяется по формуле (3.3.1), его называют интерполяционным полиномом для интерполирования вперед (или для интерполирования в начале таблицы). Этот полином целесообразно использовать, когда точка x* находится в начале таблицы.

 

Если Pn(x) определяется по формуле (3.3.3), его называют интерполяционным полиномом для интерполирования назад (или для интерполирования в конце таблицы). Его целесообразно использовать, когда точка x* находится в нижней части таблицы.