Вопрос №35. Интерполяционная формула Лагранжа

 

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] даны n+1 различных значений аргумента: x0,x1,…,xn и известны для функции y=f(x) соответствующие значения: f(x0) = y0,… : f(xn) = yn. Требуется построить полином Ln(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах x0,x1,…,xn теже значения, что и функция f(x).

Решим сначала частную задачу: построим полином pi(x) такой, что pi(xj) = 0 при ji и pi(xi) = 1

Т.е.     (1)

Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках x0,x1,…,xi-1,xi+1,…,xn, то она имеет вид

, где Сi – постоянный коэффициент. Полагая x = xi в формуле (2) и учитывая, что pi(xi) = 1, получим:

Отсюда 

Подставив это значение в формулу (2), будем иметь:

Теперь перейдем к решению общей задачи: к отысканию  полинома Ln (х), удовлетворяющего указанным выше условиям Ln (xi) = yi .Этот полином имеет следующий вид:

В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного  полинома Ln(x) не выше n и, во-вторых, в силу условия (1) имеем:

Подставив в формулу (4) значение pi(х) из (3), получим:

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

Докажем единственность полинома Лагранжа.

Предположим противное.

Пусть — полином, отличный от , степени не выше п и такой, что

. Тогда полином , степень которого, очевидно не выше n , обращается в ноль в n+1 точках x0,x1,…,xn.

Т.е. , следовательно . Ч.Т.Д