Вопрос №34. Общая постановка задачи интерполяции функции алгеброическими полиномами и ее решение. Общая характеристика полиномиальной интерполяции.

 

Простейшая задача полиномиального интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a,b] заданы n+1 точки x0,x1,…,xn, которые называются узлами интерполяции.

n ={xi  / xi+1 = xi + hi, hi > 0, i = 0, 2, 3, …, n-1; x0 = a, xn = b}

Требуется найти такой интерполяционный полином 

 ,

Что .

Найти полином – это значит найти его коэф.

Пусть степень полинома равна n. Запишем систему:

       (1)

 

 

Если определитель Ван дер Монда:

Определителем Вандермонда называется определитель

.

 

 

 

Он равен нулю тогда и только тогда, когда xi = xj для некоторых Description: i \neq j.

Таким образом, если данный определитель не обращается в ноль, то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение. А это означает, что задача полинономиальной интерполяции имеет единственное решение.

 

Если степень полинома m>n, то система недоопределена, а значит решений системы (1) бесконечное мн-во.

Если степень полинома m<n, то система переопределена, значит условие (1) выполнено не будет.