Вопрос №32 Конечные и раздельные разности. Их свойства и связь с производными

 

Конечные разности

 

Пусть y=f(x) –заданная функция. Обозначим  через  х = h фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение  называется первой конечной разностью функции у. Аналогично определяются конечные разности высших порядков

Например,

Свойства:

1)      (u + v)=u+v;

2)      C*(C-const);

3)      m(ny)=m+ny (m, n – целые неотрицательные числа).

Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную f(n)(x) на отрезке [x,x+nx]. Тогда справедлива важная формула                                                                         (1)

где Эта формула чаще всего доказывается с помощью метода мат.индукции.

На самом деле при n=1 мы получаем теормему Лагранжа о конечном приращении функции и, следовательно, данная формула верна, тогда при k<n :

Где

Тогда

Применяя теорему Лагранжа к получившемуся приращению производной f(k)(x), будем иметь:

где

Полагая  окончательно получим: причем, очевидно, Ч.т.д.

Из формулы (1) имеем:

Далее переходим к пределу

Следовательно, при малых приращениях справедлива приближенная формула

 

Разделенные разности

Разделенная разность нулевого порядка функции f(x) — сама функция f(x). Разделённая разность порядка n определяется через разделённую разность порядка n − 1 по формуле

Description: f(x_0;\;x_1;\;\ldots;\;x_n)=\frac{f(x_1;\;\ldots;\;x_n)-f(x_0;\;\ldots;\;x_{n-1})}{x_n-x_0}.

Для разделённой разности также верна формула

Description: f(x_0;\;x_1;\;\ldots;\;x_n)=\sum_{j=0}^n\frac{f(x_j)}{\prod\limits_{i=0\atop i\neq j}^n(x_j-x_i)}.

Из этой формулы следует, что разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов (то есть при любой их перестановке не меняется), а также то, что при фиксированных Description: x_0,\;\ldots,\;x_n разделённая разность — линейный функционал от функции f:

Description: (a_0f_0+a_1f_1)(x_0;\;\ldots;\;x_n)=a_0f_0(x_0;\;\ldots;\;x_n)+a_1f_1(x_0;\;\ldots;\;x_n).

 

 

Приложение

Теорема Лагранжа: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ab]; дифференцируема в интервале (ab). Тогда существует точка с Î (ab) такая, что

 

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .