Вопрос  № 31 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Модификации метода Ньютона. Общая характеристика методов. Сходимость и вычислительная устойчивость.

 

Рассмотрим, вообще говоря, нелинейную систему уравнений

с действительными левыми частями.  Запишем короче систему (1).

f(x) = 0                              (1’)

Для решения этой системы будем пользоваться методом последовательных приближений. Предположим, что найдено р-е приближение

Одного из изолированных корней x=(x1,x2,…,xn) векторного уравнения (1’). Тогда точный корень равен : , где  - погрешность корня. Отсюда получаем

Предполагая, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(p), разложим левую часть уравнения по степеням малого вектора ε(p), ограничиваясь линейными членами

 (2)

В развернутом виде это выглядит так :

(2’)

Из этих формул вытекает, что под производной f’(x) следует понимать матрицу Якоби (якобиан) системы функций f1,f2,…,fn относительно переменных x1,x2,…,xn, т.е.

 

Или в кратной записи

Система (2') представляет собой линейную систему относительно  поправок ε(p), i=(1,2 ..., n) с матрицей W(x), поэтому  формула (2) может быть записана в следующем виде:

Отсюда, предполагая, что матрица W(x(p)) – неособенная, получим:

Следовательно, . За нулевое приближение x(0) можно взять грубое значение искомого корня.

Критерием окончания итерационного процесса является условие ||x(p- x(p+1)||≤ ε (где ε – погрешность). Достоинством метода является высокая скорость сходимости. Сходимость метода зависит от выбора начального приближения: если
, то итерации сходятся к корню (скорость сходимости квадратическая). Недостатком метода является вычислительная сложность: на каждой итерации приходится находить матрицу частных производных и решать систему линейных уравнений. Кроме того, если аналитический вид  частных производных неизвестен, их надо считать численными методами.

 

Модификация метода Ньютона

При построении процесса Ньютона существенным неудобством является необходимость для каждого шага заново вычислять обратную матрицу W-1(x(p)). Если матрица W-1(x) непрерывна в окрестности искомого решения x* и начальное приближение х(0) достаточно близко к х*, то приближенно можно считать:

И мы, таким образом, приходим к модифицированному процессу Ньютона

(p=0,1,2,…), где ξ(0)(0). Заметим, что для процесса ньютона и прибл.проц.ньютона первые приближения совпадают между собой, т.е. ξ(1)(1).