Вопрос №30. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Общая характеристика метода, его сходимость и вычислительная устойчивость

 

Систему нелинейных уравнений с n неизвестными можно записать в виде

 

 (1)

x- вектор неизвестных величин, f – вектор-функция

 

 

При использовании метода простой итерации система уравнений (1) приводится к эквивалентной системе специального вида

 

Или, в векторной форме

                          

 

Где функции  - определени и непрерывны в некоторой окрестности искомого изолированного решения .

Если выбрано некоторое начальное приближение

То последующие приближения в методе простой итерации находятся по формулам

 

 

 

 

Если последовательность векторовсходится, то она сходится к решению

Достаточное условие сходимости итерационного процесса формулируется следующим образом:

Теорема

Пусть вектор-функция  непрерывна, вместе со своей производной

 

 

 

 

В ограниченной выпуклой замкнутой области G и , где q- постоянная. Если , то процесс итерации сходится к единственному решению уравнения в области G и справедливы оценки погрешности