3. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции). Общая характеристика метода. Сходимость, скорость сходимости, устойчивость к вычислительным погрешностям.

 

Известно, что  непрерывна  на   и имеет  на этом промежутке единственный корень . Строим последовательность вложенных отрезков  и принимаем середину каждого отрезка за . Расчеты производим  по формулам:   ; 

затем для =1,2,3,....

;

 ;            .  

Критерий остановки расчетов: . Приближенное значение корня  .

 

Скорость сходимости метода - линейная. На каждой итерации происходит уменьшение интервала неопределенности [a,b] в два раза.  Нетрудно установить, что для того, чтобы исходный отрезок   уменьшился не менее чем в h раз, необходимо осуществить [log2h]+1 итераций, где [g] означает целую часть числа g.

 

Метод половинного деления не обобщается на системы уравнений, относительно медленно сходится. Основное достоинство метода – он гарантированно сходится  для любых непрерывных функций.