№ 27. Классификация систем линейных уравнений с прямоугольными матрицами. Обобщенное, нормальное и обобщенно-нормальное решения.

1 и 2-я трансформации Гаусса и их характеристика.

 

 

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

                                                         (1)

где       – матрица размерности ;

 – вектор размерности ;

 – вектор размерности .

 

Система (1) совместна, если ранги матрицы  и расширенной матрицы =(), полученной из  присоединением столбца , совпадают:  = . Если система (1) несовместна, то ставится задача нахождения обобщенного решения , которое дает минимум функции невязок

,                                                              (2)      

 где      .

(Здесь и далее рассматривается евклидова норма вектора).

 

Возможны 4 случая при решении системы (1).

1.      . Совместная система с невырожденной квадратной матрицей, она имеет единственное решение , которое можно найти, используя прямые или итерационные методы.

2.      . Переопределенная система (число уравнений больше числа неизвестных). Если система несовместная, ставится задача отыскания обобщенного решения, минимизирующего функцию (2). В случае совместности системы это решение оказывается обычным решением.

3.      . Неопределенная система, имеет бесконечно много решений . Ставится задача отыскания нормального решения , имеющего наименьшую норму                

                                               .                                        (3)

4.      . Вполне неопределенная система. Если она совместна, то имеет бесконечно много решений, а если несовместна, то может иметь бесконечно много обобщенных решений. Ставится задача отыскания обобщенного нормального решения, имеющего наименьшую евклидову норму среди всех решений, доставляющих минимум функции (2), те   

                                   .                                            (4)

 

Нахождение обобщенного решения переопределенной системы с помощью первой трансформации Гаусса

 

Рассмотрим систему

                                            (1)

в случае, когда  (размерность матрицы  – ).

Осуществляем 1–ю трансформацию Гаусса: умножим (1) на транспонированную матрицу слева, получим:

.                        (5)

Здесь (5) – система  вида  с квадратной матрицей  размерности (), невырожденной, симметричной. Решение системы (5)   (его можно получить, используя прямые или итерационные методы) – это обобщенное решение системы (1), оно дает минимум нормы вектора невязок   среди всех возможных решений.

 

Нахождение нормального решения неопределенной

системы с помощью второй трансформации Гаусса

 

Требуется решить систему  (1) с матрицей  размерности , причем  (неопределенная система). Используем 2–ю трансформацию Гаусса: заменяем  на произведение , где  – вектор размерности : , тогда (1) можно записать в виде

.                                    (6)

 

Здесь (6) - система вида  с квадратной матрицей  размерности , неособенной, симметричной. Решение системы (6) можно получить, используя прямые или итерационные методы: . Тогда нормальное решение системы (1):

.

 

Это решение имеет наименьшую норму среди всех возможных решений системы.

 

Пример. Система двух уравнений с тремя неизвестными:

  .

Геометрически решения этой системы -   это множество общих точек двух плоскостей в пространстве. Если это множество не пусто (плоскости не параллельны), то таких точек бесконечное множество (прямая либо плоскость). Нормальное решение системы - это точка, радиус-вектор которой имеет наименьшую норму среди всех возможных решений, т.е. точка,  наиболее близкая к началу координат в пространстве решений.

 

В заключение можно отметить существенный недостаток обеих трансформаций Гаусса: они ухудшают обусловленность системы.