21. Метод простой итерации решения систем линейных уравнений. Общая характеристика методов, их сходимость и вычислительная  устойчивость.

 

Рассматривается система Ax = b. 
Для применения итерационных методов система должна быть приведена к эквивалентному виду x=Bx+d. Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений 
image002.gif (1185 bytes) и находится последовательность приближений к корню. Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено условие image004.gif (964 bytes). 

 

Метод простой итерации.

 

Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду:

x = x - image039.gif (834 bytes)(Ax - b),  image039.gif (834 bytes) - итерационный параметр.

Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид:

x (n+1) = x n -  image039.gif (834 bytes)(Ax n - b).

 

Здесь B = E -  image039.gif (834 bytes)A  и параметр  image039.gif (834 bytes) > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину  image046.gif (929 bytes).

 

Пусть image048.gif (902 bytes) и image050.gif (902 bytes) - минимальное и максимальное собственные значения матрицы A.

 

Оптимальным является выбор параметра  image052.gif (1099 bytes). В этом случае  image046.gif (929 bytes) принимает минимальное значение равное image055.gif (1216 bytes).