2. Решение нелинейных уравнений. Общая постановка и этапы решения задачи. Отделение корня. Классификация методов решения и их краткая характеристика.

В общем случае требуется найти решения уравнения (или, иначе говоря, корень функции ), где - нелинейная функция одной переменной. Если имеет более одного корня, то для отыскания каждого из них потребуется отдельное применение метода.

Использование каждого из методов вычислений предполагает, что известен отрезок , внутри которого содержится хотя бы один корень функции. На практике определение такого отрезка часто требует отдельной процедуры и носит название этапа отделения или изоляции корня.

Полученный на этапе отделения корня отрезок  затем последовательно уменьшается и значение корня функции в результате определяется с требуемой точностью. Этот процесс носит название этапа уточнения корня. Именно он реализуется с помощью различных методов, называемых методами решения нелинейных уравнений.

Предполагается непрерывность функции , что обеспечивает необходимые свойства большинства рассматриваемых методов. Если требуются более жесткие условия на функцию, то они оговариваются особо.

 

Изоляция корней

Пусть функция   непрерывна в области определения. Чтобы гарантированно существовало решение уравнения     (1), функция  должна быть знакопеременной в области определения. Процедура нахождения  промежутка , внутри которого обязательно находится корень функции, называется, как уже отмечалось, этапом отделения корня или его изоляцией. Отделение корней может быть осуществлено   численно или графически.

Численная процедура отделения корня, как правило, сводится к определению знака функции на некотором дискретном множестве значений аргумента. Чаще всего это множество представляет собой конечный набор равноотстоящих точек на оси абсцисс. При реализации этой процедуры руководствуются следующими правилами:

Если  непрерывна на  и , то существует хотя бы один корень .

Если  непрерывна и монотонна на  , причем ,   то корень  единственный.

Следует отметить, что случаи, когда функция в отдельных точках принимает значения, равные нулю, а в остальных точках области определения сохраняет знак, этими правилами не отслеживаются.

Так же отделить корни можно графически.

Методы решения бывают аналитические и численные, но в общем случае аналитического способа решения нет. Численные методы бывают использующие производную и нет.

Основные характеристики методов: трудоемкость итерации, скорость сходимости.

Скорость сходимости:

Линейная: , где .

Сверхлинейная: , где  при

Квадратичная: , где .

Чем выше скорость сходимости, тем меньше итераций потребуется. Есть методы, сходящиеся всегда, а есть, которые сходятся только при выполнении ограничений на функцию