18. Метод пополнения для нахождения обратной матрицы. Свойства метода.

 

 

Требуется найти обратную матрицу для данной невырожденной квадратной матрицы . За основу построения  в методе пополнения берут матрицу  той же размерности, что и  , но с известной обратной матрицей. Примером такой матрицы может служить единичная матрица . На каждом шаге 1, 2, …,  заменяется одна из строк рабочей матрицы  строкой матрицы  (пополнение) и строится . На –ом шаге получаем . Для пополнения матрицы  используются:  вспомогательная строка

               (1)

и столбец единичной матрицы   = (0; 0; ...1; 0; ..0)Т. Тогда справедливо:                             ,                                   (2)         

и                ,                 (3)

где:

 – число, определяемое по формуле:  

  ,                                         (4)

 - –й столбец матрицы .

 

Описание одного шага метода пополнения.

1)     Пополняем матрицу     –й  строкой  матрицы

(формула (2)),  в результате получаем .

1)     Находим  – формула (4).

2)     Строим матрицу  по формуле (3) или по столбцам:

,   (j = 1, 2, …, ),       (5)

где  – –й столбец матрицы (верхний индекс – номер шага).

Метод пополнения удобно использовать в случае, когда известна матрица , а требуется найти  для матрицы, отличающейся от  несколькими строками.

 

Задача

 

 Найти матрицу, обратную к матрице  из задачи к п.6.2:

.         Точность = 0,01.

 

Решение.   Пусть , .

.                   ,   где 

= (2;-4;5;0),   = (1;0;0;0)T;   =3;     0,333; 

 ;

 

Выделим 2-й столбец матрицы :        (1,332; 1; 0; 0)T.

=,    где      

 

Вычислим

;   -2,976,  тогда

;

 

Здесь (–10,901; –6,934; 1; 0)T.

. ,    где  

 

Вычисляем ;1,034;

                                                                              ;

  (–7,172; –4,108; 1,022; 1)T.

.   ,    где   

;   ;

.

 

Проверив условия , , убеждаемся в правильности решения.

Ответ:        .