Вопрос 17. Метод окаймления для нахождения обратной матрицы. Свойства метода.

 

 

Дана невырожденная матрица  размерности . Требуется найти обратную матрицу , т.е. такую матрицу, что .

 

Схема метода окаймления следующая. Рассматриваем матрицы ,  где , , …, , т.е. каждая следующая матрица получается из предыдущей “окаймлением” предыдущей матрицы строкой и столбцом матрицы . На каждом шаге 1, 2, …, строится матрица, обратная к . При этом, если матрицу  представить в форме:

                   ,    где   ,  

то обратная к ней матрица  будет иметь вид:

                                     ,

где:

 – число:                  ;                     (1)

 – столбец:      ;                                      (2)

 – строка:       ;                          (3)

 – матрица:   .              (4).

 

Таким образом, для построения  используется , построенная на предыдущем шаге. На   –м   шаге получаем .

Для упрощения расчетов при  следует повторяющиеся элементы: ,       и        вычислять отдельно.

 

Особенно удобен метод окаймления в случае, когда требуется найти , а матрица  известна (здесь  – матрица  без последней строки и последнего столбца). В этом случае обращение матрицы осуществляется в 1 шаг. Можно рекомендовать этот метод для матриц  большой размерности.

 

Задача

 

 Получить матрицу, обратную матрице, при помощи метода окаймления. Выполнить проверку. Точность вычислений = 0,01.

 

.

Решение.

.                   3;      0,333.

.         ;    здесь ;   = - 4;   .

;

;

.

Получаем:            .

.    ;   здесь  ;    ;    .

Сначала вычислим произведения

;

.

Теперь найдем;;

;

         .

Получаем   .

.    ;    (3; –1; 4);    (0; 1; 2)T;     .

Вычисляем произведения:

 T.

Теперь находим

   -12,321;   -0,081;

 (0,581; 0,333; –0,083)T;

 (–1,245; 4,726; –1,823);

.

Получаем обратную матрицу

.

Проверки.

;

  .

Вывод: , обратная матрица построена верно.

Ответ:         .