Вопрос 16. Метод вычисления определителя матрицы, основанный на методах исключения. Свойства метода.

 

 

Используя схемы исключения (Гаусса и др.), можно вычислить определитель квадратной матрицы . Поскольку для треугольной и диагональной матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали, то при использовании методов Гаусса и Жордана определитель можно получить, перемножив ведущие элементы, определявшиеся в процессе выполнения прямого хода этих методов:

,

где верхний индекс – номер шага.

 

Если на каком–то шаге процесса ведущий элемент = 0 или близок к нулю, то следует переставить столбцы или строки матрицы  так, чтобы на главной диагонали стоял ненулевой элемент. В итоге

,

где ki  для i–го шага   вычисляют по формуле:

ki =

Для вычисления определителя с использованием схем исключения требуется  ячеек памяти и  арифметических операций, что значительно меньше, чем при вычислении определителя по всевозможным произведениям элементов.

 

Задача

 Вычислить определитель матрицы  A, используя метод Гаусса:

A=.

Решение. Поскольку  близко к нулю, используем схему с выбором главного элемента (смотреть ниже сноску *).

 

i = 1. Главный элемент  = 5,31. Поменяем местами 1–й и 4–й столбцы, чтобы этот элемент стал ведущим, затем вынесем ведущий элемент  за знак определителя и получим нули в первом столбце матрицы под  диагональным элементом:

 

.

 

i = 2. Главный элемент  = 3,321. Поменяем местами 2–й и 3–й столбцы, затем вынесем ведущий элемент  за знак определителя и получим нули во втором столбце матрицы под  диагональным элементом:

 

                                                                              .

 

i = 3. Ведущий элемент  = 1,691. Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки, затем вынесем ведущий элемент  за знак определителя и получим ноль под ним:

                                                                 

 

 

i = 4. Выносим за знак определителя последний ведущий элемент:

 

                                                                  Ответ: = -0,18.

 

* Схемы с выбором главного элемента

1. Схема с выбором главного элемента без перестановки столбцов.

На каждом из  n -1   шагов прямого хода метода выбирают главный элемент как максимальный по модулю среди элементов  соответствующего столбца преобразованной матрицы, расположенных на главной диагонали матрицы и ниже:   ,  затем осуществляется перестановка уравнений системы (строк расширенной матрицы) так, чтобы строка с номером  заняла k-е место, стала ведущей. После перестановки осуществляются расчеты по формулам (2)-(3) и переход к следующему шагу.

 

2. Схема с выбором главного элемента с перестановкой столбцов.

Выбор главного элемента    на  k-ом  шаге прямого хода осуществляется среди всех элементов расширенной матрицы, за исключением элементов строк с номерами  и элементов  () - го столбца. После этого осуществляется перестановка строк и столбцов расширенной матрицы    таким образом, чтобы элемент     стал ведущим, т.е переместился наместо . При этом необходимо хранить в памяти ЭВМ строку перестановок столбцов, чтобы восстановить порядок переменных  при обратном ходе.

 

 

Схемы Гаусса просто реализуются и выгодны для систем с плотно заполненной матрицей     (когда мало нулевых элементов). Число арифметических операций во всех схемах порядка n3. Если система плохо обусловлена, то точность не гарантируется.

 

Задачи

 

1. Решить систему методом Гаусса. Исходные данные считать верными в написанных знаках. 

                           

 

Решение.    Прямой ход.  Используем схему единственного деления. Все расчеты выполняем с запасным десятичным знаком, результаты заносим в таблицу.

шага

 

k=0

5,64

-4,52

4,57

8,32

Ведущая строка –

 

-2,17

1,36

-5,53

7,21

первая,

 

8,77

-2,78

5,44

7,56

ведущий элемент.

k=1

1

-0,801

0,810

1,475

Ведущая строка –

 

0

-0,379

-3,772

10,411

вторая,

 

0

4,248

-1,666

-5,377

ведущий элемент.

k=2

1

-0,801

0,810

1,475

 

 

0

1

9,950

-27,464

 

 

0

0

-43,937

111,303

Прямой ход закончен.

Обратный ход:    .

Невязки:                       

= 0,06.   

Ответ: x1 = 1,72; x2 = -2,26;  x3 = -2,53.           

 

2. Решить систему методом Гаусса с выбором главного элемента с перестановкой столбцов. Исходные данные считать верными в написанных знаках.

                  

Решение. Прямой ход. Заносим все вычисления в таблицу.

 

№ шага

Порядок столбцов

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

2,34

-1,84

-0,32

0,11

2,22

Главный элемент: .

 

-1,19

 0,43

-0,52

 3,37

-5,26

 Меняем местами 

 

 0,33

 0,61

 7,75

-2,18

 0,15

1-ю  и  3-ю строки,

 

-1,53

 0,81

 0,94

-4,82

-3,74

1-й   и  3-й столбцы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 7,75

 0,61

 0,33

-2,18

 0,15

Ведущая строка: 1-я.

 

-0,52

 0,43

-1,19

 3,37

-5,26

 

 

-0,32

-1,84

 2,34

 0,11

 2,22

 

 

 0,94

 0,81

-1,53

-4,82

-3,74

 

k=1

   1

 0,079

 0,043

-0,281

 0,019

Главный элемент:

 

   0

 0,470

-1,168

 3,224

-5,250

Меняем местами 

 

   0

-1,815

 2,354

 0,020

 2,226

2-ю  и   4-ю строки,

 

   0

 0,736

-1,570

-4,556

-3,758

2-й   и   4-ый столбцы.

 

 

 

 

 

 

 

 

   1

-0,281

 0,043

 0,079

 0,019

Ведущая строка: 2-я.

 

   0

-4,556

-1,570

 0,736

-3,758

 

 

   0

 0,020

 2,354

-1,815

 2,226

 

 

   0

3,224

-1,168

 0,470

-5,250

 

k=2

 

 

 

 

 

 

 

   1

-0,281

 0,043

 0,079

 0,019

Главный элемент:

 

   0

   1

 0,345

-1,162

 0,825

на нужном месте,

 

   0

   0

 2,347

-1,812

 2,210

перестановки не делаем.

 

   0

   0

-2,279

 0,992

-7,909

Ведущая строка: 3-я.

k=3

 

 

 

 

 

 

   1

-0,281

0,043

 0,079

 0,019

 

 

   0

   1

0,345

-1,162

 0,825

 

 

   0

   0

   1

-0,772

 0,942

 

 

   0

   0

   0

-0,767

-5,764

Прямой ход закончен.

Обратный ход:    ;

;

;

.

Невязки: ;     

Ответ: x1 = 6,74; x2 = 7,51;  x3 = -0,94; x4 = -0,28.