13.Решение систем линейных уравнений с применением ортогональных матриц вращения. Общая характеристика метода.

 

Дана система линейных уравнений:

                  .                                             (1)  

Ортогональные преобразования системы (1) осуществляются посредством левостороннего умножения матрицы системы А и вектора правых частей b матричного уравнения (1)  на ортогональную матрицу ;         . В результате такого умножения система (1) может быть заменена на эквивалентную ей систему: .                                     

 

С помощью определенным образом организованной последовательности таких умножений можно преобразовать исходную систему линейных уравнений к эквивалентной ей системе с верхней треугольной матрицей (прямой ход). Обратный ход осуществляется в этом случае так же, как в схемах Гаусса.

 

Матрицей вращения называется ортогональная матрица  размерности , полученная из единичной матрицы  этой же размерности заменой  4–х элементов:

;      ;      ;  где               

Матрица  имеет вид:

 

Пусть требуется решить систему линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей:

                                      .                                             (1) 

 

Если величины  и  вычислить по формулам

;             ,                                     (2)

 

то,  умножив матрицу А на  слева, получим , где  отличается от   только двумя  строками (–ой и –ой),   причем = 0.

Вывод формул для вычисления С и S:

Например, левостороннее умножение системы (1) на матрицу , приводит к эквивалентной системе

,                           (*)        

 при этом изменяются 1–я  и 2–я строки матрицы системы и 1–ый  и  2–ой элементы столбца правых членов системы, а элемент новой матрицы, находящийся на пересечении второй строки и первого столбца, становится равным нулю.  Далее умножаем систему (*)  слева на

    и   т.д.

Для приведения исходной системы линейных уравнений к эквивалентной ей системе с верхней треугольной матрицей  необходимо последовательно умножить (1) слева на цепочку ортогональных матриц

.

Таким образом, всего потребуется       левосторонних умножений на матрицу вращения. Поскольку при каждом  из таких умножений изменяются только 2 строки матрицы предыдущей системы   и  2 элемента столбца , то умножения

,                           (4)

можно осуществлять по следующим формулам.

Для k = 0                                ;   .

Далее для            k = 1,2....;   j = 1, 2, ...n -1;       i = j +1,  j+2, ...,n.     

 ; ,    если ,

;;      (5)

;     ;

где ,  – –я и –я строки матрицы ;  и  вычислены по формулам (2) с использованием элементов матрицы . Для удобства вычислений используют расширенную матрицу вида (A÷b), где   (n+1)-ый столбец  матрицы – это столбец свободных членов .