12. Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица отражения.

Ортогональная матрица

 Квадратная матрица A, для которой A-1 = AT называется ортогональной матрицей.
   

Основные свойства ортогональной матрицы:

Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Это свойство следует из свойств определителей:

\! 1 = \det(I) = \det(A^TA)=\det(A^T)\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^2=1.

 

Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

Скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Сумма произведений элементов любой строки ортогональной матрицы на соответствующие элементы другой строки равна нулю.

Матрица отражения

Матрицей отражения  называется ортогональная матрица размерности , полученная из единичной матрицы  этой же размерности следующим образом:

                               

где   – единичный вектор (),     – матрица .

Если вектор  получен с использованием элементов –го столбца матрицы  А  по формулам

;  где                      

 (0; 0; ..0; 1; 0; ...; 0)T,  (единица на -м месте);              

(0; 0; ...0; ;  ..... )T;      ,

то, умножив матрицу  А  на  слева, получим матрицу , в которой все поддиагональные элементы j-го столбца , ...,  равны нулю.

Свойства матрицы отражения

1)      

2)       Если , то

3)      

4)