11.Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица вращения.

Ортогональная матрица

 Квадратная матрица A, для которой A-1 = AT называется ортогональной матрицей.
   

Основные свойства ортогональной матрицы:

1)    Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Это свойство следует из свойств определителей:

\! 1 = \det(I) = \det(A^TA)=\det(A^T)\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^2=1.

2)    Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

3)    Скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

4)    Сумма произведений элементов любой строки ортогональной матрицы на соответствующие элементы другой строки равна нулю.

Матрица вращения

Матрицей вращения называется ортогональная матрица  размерности , полученная из единичной матрицы  этой же размерности заменой  4–х элементов:

;      ;      ;  где               

Матрица  имеет вид:

!Надо спросить, в тетради не было,а тут бред.

Если \mathbf{M} — матрица, задающая поворот вокруг оси \vec nна угол φ, то: