1. Погрешности результатов вычислительных операций.

Пусть a* - точное значение некоторой величины, а число a -  приближенное значение этой величины (для простоты будем называть a приближенным числом). Величину  называют абсолютной погрешностью числа a. Предельной абсолютной погрешностью числа a называют наименьшую из верхних границ величин , т.е.

=  Это означает, что если - предельная абсолютная погрешность числа a, то , т.е.  Обычно записывают так: , например, = 8,341 +- 0,005.

В дальнейшем будем называть предельную абсолютную погрешность просто абсолютной погрешностью.

Предельной относительной погрешностью числа a называют величину    или    100%.   В случае, когда a* неизвестно, полагают, что        или   100%.

В дальнейшем будем называть предельную относительную погрешность числа просто относительной погрешностью.

 

Значащими цифрами числа называют все цифры, начиная с первой отличной от нуля цифры для десятичных чисел. Для целых чисел значащими цифрами числа будут все цифры этого числа стоящие после отличной от нуля цифры: 0,03030, 15000.

Все значащие цифры числа точны, если абсолютная погрешность этого числа не превышает 5 единиц первого отброшенного разряда. Например для 0,03030 это 5*10^(-6). В противном случае некоторые из значащих цифр называют сомнительными.

 

Правила округления:

Если цифра больше 5, то округляем вверх: 0,3016 –> 0,302.

Если цифра равна 5 и следом за ней стоит не 0, то тоже округляем вверх: 0,3051 –> 0,32.

Правило четной цифры: если последняя цифра равна 5 и перед ней стоит четная цифра, то при округлении просто отбрасывается ненужная часть: 0,305 –> 0,30; если нечетная цифра, то округляем вверх: 0,315 –> 0,32 .

 

Погрешность арифметических операций.

Погрешность суммы: пусть  и есть абсолютные погрешности , тогда

Док-во:  отсюда

Погрешность разности: пусть  и есть абсолютные погрешности , тогда (аналогично предыдущему)

Погрешность произведения: пусть  и есть абсолютные погрешности , тогда

Док-во:  последнее слагаемое можно отбросить, так как  и ,

Погрешность деления: пусть  и есть абсолютные погрешности , тогда ,

( - точные значения)

Пусть дана дифференцируемая функция и  - абсолютные погрешности, тогда  обычно на практике - малые величины, произведением  и степенями которых можно пренебречь, поэтому можно положить  ,